
\prob{007F}{从等式到函数}

若$f$是某定义域和值域均为正整数的函数，且满足：
\begin{enumerate}
  \item 至少存在一个$n \ge 2$，使得$f(n) = n$；
  \item 对于任意正整数$m > n$，有$f(mn) = f(m)f(n)$，且$f(m) > f(n)$。
\end{enumerate}
求$f(n)$。
\problabels{yellow/数论}

\ans{$f(n) = n$}

\subsection{利用正整数的性质}

设$k \ge 2$为最小的满足$f(k) = k$的正整数，利用归纳法证明$f(n) = n$。

首先对于$n = 1$，由于$f(k) = k$，故$f(k) = f(1k) = f(1)f(k)$，即$kf(1) = k \Rightarrow f(1) = 1$。于是由题设有
\[ f(1) < f(2) < f(3) < \dots < f(k) \]
而$f(1) = 1, f(k) = k$，而$f$取整数，故直接有
\[ f(1) = 1, f(2) = 2, \dots, f(n) = n\quad(1 \le n \le k) \]

而对于$m > 1$，假设对于所有$n \le km$，有$f(n) = n$，于是
\[ f(km) < f(km + 1) < \dots < f(km + k) = f(k)f(m + 1) \]
而$m + 1 \le km$，故$f(m + 1) = m + 1$，即
\[ f(km + k) = f(k)f(m + 1) = k(m + 1) = km + k \]
代入原不等式得
\[ km < f(km + 1) < \dots < f(km + k - 1) < km + k \]
而$f$取单调增的整数，故直接有
\[ f(n) = n\quad(km \le n \le km + k) \]

综上，有$f(n) = n$。
